Представьте себе рынок: сотни покупателей приходят и уходят, каждый делает выбор случайно — купить кофе или чай. Через день владелец считает доли покупателей, купивших кофе. Если он повторит наблюдение завтра, результаты будут отличаться: иногда больше, иногда меньше. Но если владелец будет усердно собирать данные каждое утро и смотреть на среднюю долю за месяц, он заметит удивительное — эта средняя станет предсказуемее и будет вести себя как некая «нормальная» кривая. Что это за волшебство? На самом деле это не магия, а фундаментальные теоремы теории вероятностей: закон больших чисел и центральная предельная теорема. Понимание их интуиции, границ применимости и практических следствий — один из важнейших инструментов студента физико-математического факультета: от анализа шумов в экспериментах до вывода доверительных интервалов в прикладных задачах.

Начнём с самого простого наблюдения: если бросать монету много раз, доля орлов среди бросков будет колебаться вблизи 0.5, и при увеличении числа бросков эти колебания уменьшаются. Закон больших чисел (ЗБЧ) формализует это: при независимых повторениях одинакового испытания среднее арифметическое наблюдаемых значений сходится к их математическому ожиданию. Есть слабая форма (сходимость по вероятности) и сильная форма (почти наверное). Для практикующего студента полезно знать, что уже слабая форма гарантирует: с увеличением n вероятность того, что выборочное среднее отклонится от истинного ожидания больше чем на ε, стремится к нулю. Интуитивно это значит — большие выборки сокращают «случайные флуктуации».

Почему это происходит? Можно привести наглядную иллюстрацию через несложное неравенство Чебышева. Для выборочного среднего X̄ дисперсия уменьшается как σ^2/n (σ^2 — дисперсия одной реализации), и неравенство Чебышева даёт оцен