Дифференциальные уравнения — это язык, на котором описывается изменение во всём: от колебаний пружины и охлаждения чашки кофе до роста популяций и токов в электрических цепях. На физико-математическом факультете вы будете встречать ОДУ постоянно: в математическом анализе, в классической механике, в теории колебаний и в прикладных задачах. Понимать, как выбирать метод решения и как интерпретировать результат, важнее, чем запоминать отдельные формулы: задача студента — научиться видеть структуру уравнения и применять к ней подходящий инструмент. В этом тексте мы пройдём основные классы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разберём практические приёмы их решения, разложим несколько типичных примеров «по косточкам» и каснёмся численных методов, которые часто применяются, когда аналитический путь закрыт.
Представьте ОДУ как рецепт изменения: функция y(x) — это состояние системы (температура, положение, концентрация), а уравнение говорит, как быстро и в каком направлении это состояние меняется. Одно из самых простых и интуитивных уравнений — уравнение первого порядка dy/dx = -k(y — T), которое описывает охлаждение тела по закону Ньютона: скорость изменения температуры пропорциональна разнице с окружающей. Это уравнение показывает, что разбиение на типы (разделяющиеся, линейные, точные, однородные и т.д.) — не формальность, а подсказка к решению.
Ниже перечислены самые распространённые методы и наглядные приёмы, которые позволят вам решать типичные задачи ОДУ.
— Разделяющиеся переменные: уравнения вида dy/dx = f(x) g(y). Их удобство в том, что можно «собрать все y с одной стороны, x — с другой» и проинтегрировать: ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx. Пример: логистическое уравнение без ограничений превращается в популяционный рост dy/dt = r y, а с ограничением — dy/dt = r y (1 — y/K) — разделяется и интегрируется через частичные дроби, давая явную зависимость времени от численности.
— Линейные уравнения первого порядка: y’ + p(x) y = q(x). Решаются введением интегрирующего множителя μ(x) = exp(∫ p(x) dx): тогда (μ y)’ = μ q, и y = (1/μ) ∫ μ q dx + C/μ. Это универсальный приём, и он часто встречается в задачах физики и электроники (например, RC-цепи).
— Уравнения Бернулли: y’ + p(x) y = q(x) y^n. Преобразуются в линейные после замены z = y^{1-n}.
— Точные уравнения и интегрирующие множители: уравнение M(x,y) + N(x,y) y’ = 0 является точным, если ∂M/∂y = ∂N/∂x. Тогда существует потенциал Φ с Φ_x = M, Φ_y = N, и решение задаётся Φ(x,y)=C. Если точность не выполняется, ищем интегрирующий множитель μ(x) или μ(y) (или более общую μ(x,y)), который сделает уравнение точным.
— Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами: ay» + by’ + cy = f(x). Их общее решение — сумма общего решения однородного уравнения (через собственные корни характеристического многочлена ar^2 + br + c = 0) и частного решения. Частные решения находятся методом неопределённых коэффициентов (подбираем форму,
