Дифференциальные уравнения — это язык, на котором природа и техника описывают изменение. Для студента физико-математического факультета понимание методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — не просто академическая обязанность, а практический навык: от расчёта колебаний пружины до моделирования популяций, от анализа электрических цепей до численного моделирования климата. В этой статье мы пройдёмся по классическим аналитическим методам, рассмотрим идеи качественного анализа и перейдём к численным алгоритмам, стоп-кадрам объяснив, что и как считать, с понятными примерами и полезными аналогиями.

Сначала полезно класифицировать уравнения по простым признакам: порядок (производная самого высокого порядка), линейность (линейное vs. нелинейное), автономность (зависит ли правая часть от независимой переменной) и система vs. одно уравнение. Такое распределение подсказывает, какие методы применимы. Например, первые шаги при встрече с ОДУ: попытаться выделить, является ли оно разделяемым, линейным первого порядка, точным, или второго порядка с постоянными коэффициентами — и сразу выбрать подходящую стратегию.

Для первого порядка есть несколько «волшебных ходов», которые почти всегда стоит попробовать вначале:
— разделение переменных;
— приведённое линейное уравнение вида y’ + p(x) y = q(x) (интегрирующий множитель);
— точные уравнения и приведение к ним;
— уравнение Бернулли и подобные подстановки.

Возьмём разделение переменных: если уравнение можно записать как dy/dx = f(x) g(y), то достаточно переставить: dy/g(y) = f(x) dx и проинтегрировать обе части. Например, логистическое уравнение dy/dt = r y (1 — y/K) — ключевая модель роста популяции — разделяется и интегрируется, давая формулу, удобную для анализа насыщения и времени достижения фракции от максимума.

Если уравнение линейное первого порядка y’ + p(x) y = q(x), то применяется интегрирующий множитель μ(x) = exp(∫ p(x) dx). Умножаем уравнение на μ, левая часть становится производной (μ y)’, и остаётся просто проинтегрировать правую часть. Демонстрация на примере: y’ — (2/x) y = x^2 (при x>0). Здесь p(x) = -2/x, μ = exp(∫ -2/x dx) = x^{-2}. Умножаем: (x^{-2} y)’ = x^0 = 1, интегрируем: x^{-2} y = x + C, откуда y = x^3 + C x^2. Чётко и быстро.

Для уравнений, которые кажутся «несложными» но не разделяются и не линейны, стоит проверить на точность: уравнение M(x,y) + N(x,y) y’ = 0 называется точным, если ∂M/∂y = ∂N/∂x. Тогда существует потенциал Φ(x,y) такой, что dΦ = 0 даёт общее решение Φ(x,y) = C. Если не точно, иногда можно найти интегрирующий множитель, превращающий его в точное уравнение; это требует либо угадывания, либо поиска