Обыкновенные дифференциальные уравнения: как читать, решать и применять
Представьте, что вы наблюдаете за котёнком, который изучает угол комнаты: его положение меняется со временем, скорость его перемещения зависит от реакции на шумы и освещение, а поведение можно описать правилами. Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) — это формальный способ записать правило, которое связывает скорость изменения некоторой величины с самой этой величиной и, возможно, с временем. Для студентов физико-математического факультета ОДУ — это язык, которым говорят динамика колебаний, электрические цепи, распространение тепла в одном измерении, рост популяций и взаимодействие веществ в реакторах. Понимание этой темы открывает доступ к моделированию реального мира и к инструментам, которые помогают решать задачи от лабораторной работы до научной статьи.
Начнём с простого определения: ОДУ — это уравнение, в котором функция одной переменной (чаще всего времени t) и её производные встречаются в отношении друг к другу. Ключевые характеристики: порядок (наивысшая производная), линейность (линейное по неизвестной функции и её производным или нет) и тип задач (начальная задача — начальные условия, краевая задача — условия на границах отрезка). Понимание этих характеристик сразу же даёт стратегию: для какого типа уравнения какие методы применимы.
Рассмотрим несколько натуральных и узнаваемых примеров, а затем разобьём инструменты на группы и покажем практические приёмы.
Пример 1. RC-цепь: напряжение на конденсаторе U(t) подчиняется уравнению C dU/dt + U/R = E(t)/R, где E(t) — внешнее напряжение. Это линейное ОДУ первого порядка с правой частью E(t)/R. Пример 2. Маятник малого угла: уравнение колебаний θ» + (g/L) θ = 0 — линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, модель простого гармонического осциллятора. Пример 3. Логистическое уравнение для популяции P(t): dP/dt = r P (1 − P/K) — нелинейное уравнение первого порядка с насыщением. Каждый из этих примеров учит разным методам.
Первый класс методов — для уравнений первого порядка. Самый интуитивный приём — разделение переменных. Если уравнение имеет вид dy/dx = f(x) g(y), то можно переписать как dy/g(y) = f(x) dx и проинтегрировать обе части. На практике: логистическое уравнение dP/dt = r P (1 − P/K) превращается в dP/(P(1 − P/K)) = r dt; дробную разложку используем, интегрируем и получаем явное решение P(t) = K / (
